Joustavaa matematiikkaa

Johdanto

Myytti: ”Pienille lapsille on tärkeämpää kehittää kielellisiä taitoja kuin harjoitella matemaattisia taitoja.” Kirjaa ylös, miksi myytti ei pidä paikkaansa. (Jennifer McCray)

• Kieltä käytetään joka tapauksessa koko ajan; 96% ajasta käytetään kieltä. Matematiikkaa vain 20%.
• Varhainen lukutaito ennustaa tulevaisuuden lukutaitoja, mutta mysö varhainen matematiikan oppiminen ennustaa tulevaisuuden lukutaitoja ja matematiikan taitoja.
• Lukumäärien ja kombinaatioiden (permutaatioiden) määrän hahmottaminen ja kokeminen tärkeää.
• Abstrahoinnin oppiminen: matematiikkaa voi soveltaa hyvin laajasti (paljon laajemmin kuin lukutaitoa).

Myytti: ”Pienten lasten matematiikka on pääosin numeroiden ja muotojen oppimista.” Pohdi, mitä mieltä olet esitetystä myytistä. Kirjaa ylös millä perustein väite kumotaan. Yllättivätkö perustelut sinut?

• Myös relaatiot, suhteet, kuvaukset ovat hyvin tärkeitä
• Viisi kategoriaa 1) numerot, 2)kuviot ja avaruudellinen hahmottaminen, 3) mittakset, 4) datan analyysi, 5) prosessin standardit?
• Kommunikointi
• Lukumäärän laskeminen. Se on monimutkaista. Se on prosessi, jolla on tarkoitus. 1) yksi-yhteen: ei kahta kertaa ja laske jokainen. 2) numerojärjestys. 3) viimeinen sanomasi luku on lukumäärä. 4) Järjestyksellä ja "eri pinoilla" ei ole väliä.

Myytti: "Matematiikan opettaminen pienille lapsille on helppoa, koska kyseessä on yksinkertainen matematiikka.” Kirjaa ylös, miksi matematiikan opettaminen pienille lapsille ei ole tämän luennoitsijan mielestä niin yksinkertaista.

• Lukumäärän käsite on monimutkainen asia. Se voi olla esim. ikä tai järjestysluku.
• Kalenteri menee oudosti (kuun päivät vs vuoden päivät). Puhelinnumero. Kello pyörii ympyrää. Lämpötila. Rahamäärä. Pituus.
• Järjestäminen.

Matemaattisen ajattelun kehitys ylempien kouluasteiden aikana

Käy keskustelu oppilaiden kanssa muuttujakäsitteen eri merkityksistä. Kirjoita lyhyt kuvaus. Jos et pysty toteuttamaan keskustelua, suunnittele miten puhut muuttujan käsitteestä seuraavan kerran, kun oppitunnillasi esiintyy kirjainsymboli jollain tavalla.

Motivaation vahvistaminen

https://seafile.utu.fi/f/62c4b7073138432796d9/ What makes a mathematical task interesting?

Alla olevat tekstit ovat JoMan sivuilta.

Monet tutkimukset ja opettajien käytännön kokemus viittaavat siihen, että matematiikan hyödyllisyyden näkeminen on ollut tärkeä osa matematiikan kiinnostavuutta. Matematiikan hyödyllisyyttä voidaan lähestyä monella tapaa.

• miten matematiikka liittyy sekä arjen toiminnoissa että työelämässä tarvittaviin taitoihin nyt ja tulevaisuudessa.
• tehtävät, joiden kautta oppilaat saavat käytännön kokemusta matematiikan soveltamisesta todellisten ongelmien ratkaisemiseen.

Matematiikka ei kuitenkaan ole pelkästään sovelluksia, vaan se on tiedollinen järjestelmä, jossa asioiden ja niiden välisten suhteiden ymmärtämisestä itsestään voi tulla kiinnostavaa.

• Erityisesti joustavat tavat lähestyä matemaattisia tehtäviä voivat muuttaa muuten tylsiksi koetut tehtävät kiinnostavammiksi.
• Joustavaan matematiikkaan liittyy myös omien strategioiden keksiminen, joka vahvistaa oppilaiden toimijuutta. Toisin sanoen matematiikkaa ei ole vain ulkopuolelta annettujen ohjeiden mekaanista toteuttamista vaan myös mahdollisuutta osallistua itse matematiikan tekemiseen luovalla tavalla.

Osa oppiaineen kiinnostavuudesta voi liittyä myös niihin oppimisympäristöihin ja välineisiin, joita matematiikan opetuksessa käytetään. Tutkimukset ovat osoittaneet, että pelit ja pelilliset ympäristöt eivät ole mikään kokonaisvaltainen ratkaisu matematiikan kiinnostavaksi tekemiseen, mutta ne tuovat yhden merkittävän lisän opiskeluympäristöjen monipuolistamiseen ja sitä kautta kiinnostuksen lisäämiseen.

Matematiikan opiskelun motivaation lasku on erityisen ongelmallista siksi, että motivaatio näyttäisi tutkimusten mukaan olevan keskeinen pitkän aikavälin oppimisen selittäjä. Mm. laajassa saksalaisessa tutkimuksessa (Murayama, Pekrun, Lichtenfeld & vom Hofe, 2013) seurattiin yli 3000 oppilaan matematiikan osaamista viiden vuoden ajan. Tutkimuksen alussa testeillä mitattu älykkyys oli yhteydessä matematiikan osaamiseen, mutta älykkyyden merkitys väheni kouluvuosien myötä. Sen sijaan keskeisiksi selittäjiksi matematiikan oppimisen muutokselle osoittautui motivaatio ja opiskelussa käytetyt strategiat.

Tämän poikkeuksellisen laajaan aineistoon ja pitkäkestoiseen seurantaan perustuvat tulokset ovat tärkeitä joustavan matematiikan kannalta. Motivaatiotekijöistä matematiikan oppimisen kehittymistä pitkällä aikavälillä selitti ensinnäkin oppilaan usko siihen, että hän voi itse kontrolloida matematiikan oppimista. Ylemmillä luokilla positiivista oppimiskehitystä selittäväksi tekijäksi nousi myös sisäinen motivaatio ja omakohtainen kiinnostus matematiikkaa kohtaan. Tärkeä tavoite joustavan matemaattisen ajattelun opettamisessa on se, että oppilas kokee olevansa aktiivinen toimija, jolla on ”oikeus” myös itse keksiä ja testata erilaisia ratkaisustrategioita. Joustavan matematiikan ohjelman kannalta tärkeä on myös tulos, joka osoitti, että käytetyt strategiat olivat selvästi älykkyyttä tärkeämpi tulevaa matematiikan osaamista ennustava tekijä. https://seafile.utu.fi/f/b39686a9e1d5441e9091/

Lukuisat tutkimukset osoittavat, että oppimiskokemukset, jotka lisäävät oppilaan uskoa omiin kykyihinsä ja samalla tukevat oppilaan autonomiaa ja toimijuutta johtavat kestävään sisäisen motivaation kasvuun.

Joustavan matematiikan opettaminen tarkoittaa, ettei oppilaalle opeteta vain yhtä tapaa ratkaista tehtäviä, vaan opetetaan erilaisia vaihtoehtoisia strategioita ja rohkaistaan omien strategioiden keksimiseen tehtäviä syvällisemmin pohtimalla.

Tässä törmätään yhteen matematiikan opetuksen keskeiseen haasteeseen, oppilaiden erilaisuuteen. Kuinka pitkälle nämä havaittavat erot ovat muuttumattomia synnynnäisiä eroja, missä määrin erot ovat seurausta varhaista kokemuksista kasvuympäristössä ja missä määrin ne ovat enemmänkin koulukokemusten ja kulttuuristen tekijöiden synnyttämiä oppimista tukevia tai sitä rajoittavia uskomuksia.

Amerikkalaisen motivaatiotutkijan Carol Dweckin tutkimukset ovat osoittaneet, että oppilaiden opiskeluun vaikuttaa merkittävästi se, millainen käsitys heillä on kykyjen pysyvyydestä tai muutettavuudesta. Dweck puhuu kulttuurin välittämistä ajattelutavoista (mindset). Usko siihen, että jonkin suorituksen edellyttämiä kykyjä voidaan vahvistaa harjoituksella, näyttää johtavan parempiin oppimistuloksiin kuin staattisiin kykyihin uskova ajattelutapa. Tutkimusten mukaan nämä ajattelutavat ovat muutettavissa ja oppimistilanteissa on mahdollista vahvistaa kykyjen kehitettävyyteen uskovaa ajattelutapaa, joka johtaa puolestaan parempiin oppimistuloksiin. Niin sanotut Growth Mindset -interventiot ovat tuottaneet hyviä tuloksia amerikkalaisessa vahvasti älykkyyseroja korostaneessa kulttuurissa. Mallia on erityisesti toteutettu matematiikan ja luonnontieteiden opetuksessa. Stanfordin yliopiston tutkijoiden tuottamalta Youcubed-sivustolta saa käsityksen niistä ideoista, joita interventioissa käytetään.

Osa näistä keinoista voi vaikuttaa vähän naiiveilta suomalaisesta näkökulmasta osittain siitä syystä, ettei älykkyyserojen korostus ole täällä koskaan ollut niin voimakasta ja tutkimuksien mukaan oppilaat eivät tee kovin jyrkästi eroa kyvyn ja yrityksen välillä. Ilmiö ei kuitenkaan ole pelkästään amerikkalainen. Aivan tuoreessa yli 100 000 oppilaan otokseen perustuvassa tutkimuksessa Chilessä havaittiin, että usko kykyjen kehitettävyyteen selitti yli 11 prosenttia 10.-luokkalaisten oppilaiden matematiikan suoritusten vaihtelusta. (Claro, Paunesku & Dweck, 2016). On tunnettua, että oppilaiden sosioekonominen tausta ennustaa voimakkaasti matemaattisia suorituksia. Kiinnostava havainto tässä tutkimuksessa kuitenkin oli se, että usko matemaattisten kykyjen kehitettävyyteen selitti samalla tavalla suorituksia eri sosioekonomisissa ryhmissä. Eli kykyjen kehitettävyyteen uskovien oppilaiden suorituksen olivat selkeästi parempia kaikissa ryhmissä.

Samasta tutkimuksesta saatiin myös erittäin vakuuttava tulos siitä, että kotitausta vaikuttaa myös siihen millainen ajattelutapa oppilailla on kykyjen kehitettävyydestä. Alempien matalamman sosioekonomisen aseman perheissä näyttää välittyvän muita tyypillisemmin ajatus ei muutettavista kyvyistä.

Vaikka meillä älykkyyserojen korostuksella ei olekaan niin suurta merkitystä, niin matematiikan oppimisen kohdalla myös suomalaisessa kulttuurissa välittyy aika vahvasti staattinen kykykäsitys: ”matikkapää” joko on tai ei. Growth Mindset -interventioissa onkin eräitä piirteitä, jotka tukevat joustavan matematiikan opetuksen ajatuksia. Seuraavassa videossa käymme läpi joitakin periaatteita ja käytännön sovelluksia.

1. Matikkapäämyytin murtaminen ja siirtyminen staattiseen osaamiseen viittaavasta kielenkäytöstä matematiikkakykyjen kehitettävyyttä korostavaan puhetapaan tukee joustavan matematiikan opetuksen ajatusta.
2. Yksi Growth Mindset-intervention opetuksia on, että nopeus ei ole olennaista matematiikan oppimisessa. Joustavan matemaattisen ajattelun kehittyminen vaatii aikaa ja ilmiöiden rauhallista pohdintaa. On tärkeää miettiä, miten tätä aikaa saadaan vapautettua matematiikan tunneilla.
3. Heikostikin matematiikassa menestynyt oppilas voidaan ottaa mukaan tekemään vaativia joustavaa ajattelua ja ongelmanratkaisua vahvistavia tehtäviä, kunhan tilanne on hyvin organisoitu ja oppilas saa tarkoituksenmukaista tukea.

Joustavan matemaattisen ajattelun vahvistaminen

https://seafile.utu.fi/f/7c30661d1684458ca907/

https://seafile.utu.fi/f/2997069988c74524850d/

https://seafile.utu.fi/f/8e1942ff6f594566aa7a/

Harjoittelun merkitys

https://seafile.utu.fi/f/8083324ad63f4df1b441/

Matemaattisen keskustelukulttuurin luominen

Miksi matematiikasta keskusteleminen on tärkeää?

1. Keskustelu voi innostaa, luoda sisäistä motivaatiota ja kasvattaa janoa matematiikkaan.
2. Keskustelu voi inspiroida pohtimaan erilaisia näkökulmia ja kehittää joustavaa matemaattista ajattelua.
3. Keskustelu voi selventää yhteyksiä erilaisten matemaattisten ideoiden välillä ja auttaa hahmottamaan käsitteellisiä kokonaisuuksia.
4. Keskustelu voi luoda pysyviä omakohtaisia merkityksiä matemaattisille objekteille ja avata syvällisesti käsitteitä kaavojen taustalla.

Keskustelu Suomessa: Opetussuunnitelma, pitkittäistutkimus ja yhteys joustavuuteen

https://www.oph.fi/sites/default/files/documents/150841_perusopetuksen_matematiikan_oppimistulosten_pitkittaisarviointi_vuosina_20051.pdf

Opitaanko matematiikkaa todellakin keskustelemalla? - Kansainväliset asiantuntijat pohtivat

https://flm-journal.org/Articles/1441C850765F7EB64C89E6B2900CA.pdf