Joustavaa matematiikkaa

Johdanto

Myytti: ”Pienille lapsille on tärkeämpää kehittää kielellisiä taitoja kuin harjoitella matemaattisia taitoja.” Kirjaa ylös, miksi myytti ei pidä paikkaansa. (Jennifer McCray)

• Kieltä käytetään joka tapauksessa koko ajan; 96% ajasta käytetään kieltä. Matematiikkaa vain 20%.
• Varhainen lukutaito ennustaa tulevaisuuden lukutaitoja, mutta mysö varhainen matematiikan oppiminen ennustaa tulevaisuuden lukutaitoja ja matematiikan taitoja.
• Lukumäärien ja kombinaatioiden (permutaatioiden) määrän hahmottaminen ja kokeminen tärkeää.
• Abstrahoinnin oppiminen: matematiikkaa voi soveltaa hyvin laajasti (paljon laajemmin kuin lukutaitoa).

Myytti: ”Pienten lasten matematiikka on pääosin numeroiden ja muotojen oppimista.” Pohdi, mitä mieltä olet esitetystä myytistä. Kirjaa ylös millä perustein väite kumotaan. Yllättivätkö perustelut sinut?

• Myös relaatiot, suhteet, kuvaukset ovat hyvin tärkeitä
• Viisi kategoriaa 1) numerot, 2)kuviot ja avaruudellinen hahmottaminen, 3) mittakset, 4) datan analyysi, 5) prosessin standardit?
• Kommunikointi
• Lukumäärän laskeminen. Se on monimutkaista. Se on prosessi, jolla on tarkoitus. 1) yksi-yhteen: ei kahta kertaa ja laske jokainen. 2) numerojärjestys. 3) viimeinen sanomasi luku on lukumäärä. 4) Järjestyksellä ja "eri pinoilla" ei ole väliä.

Myytti: "Matematiikan opettaminen pienille lapsille on helppoa, koska kyseessä on yksinkertainen matematiikka.” Kirjaa ylös, miksi matematiikan opettaminen pienille lapsille ei ole tämän luennoitsijan mielestä niin yksinkertaista.

• Lukumäärän käsite on monimutkainen asia. Se voi olla esim. ikä tai järjestysluku.
• Kalenteri menee oudosti (kuun päivät vs vuoden päivät). Puhelinnumero. Kello pyörii ympyrää. Lämpötila. Rahamäärä. Pituus.
• Järjestäminen.

Matemaattisen ajattelun kehitys ylempien kouluasteiden aikana

Käy keskustelu oppilaiden kanssa muuttujakäsitteen eri merkityksistä. Kirjoita lyhyt kuvaus. Jos et pysty toteuttamaan keskustelua, suunnittele miten puhut muuttujan käsitteestä seuraavan kerran, kun oppitunnillasi esiintyy kirjainsymboli jollain tavalla.

Motivaation vahvistaminen

https://seafile.utu.fi/f/62c4b7073138432796d9/ What makes a mathematical task interesting?

Alla olevat tekstit ovat JoMan sivuilta.

Monet tutkimukset ja opettajien käytännön kokemus viittaavat siihen, että matematiikan hyödyllisyyden näkeminen on ollut tärkeä osa matematiikan kiinnostavuutta. Matematiikan hyödyllisyyttä voidaan lähestyä monella tapaa.

• miten matematiikka liittyy sekä arjen toiminnoissa että työelämässä tarvittaviin taitoihin nyt ja tulevaisuudessa.
• tehtävät, joiden kautta oppilaat saavat käytännön kokemusta matematiikan soveltamisesta todellisten ongelmien ratkaisemiseen.

Matematiikka ei kuitenkaan ole pelkästään sovelluksia, vaan se on tiedollinen järjestelmä, jossa asioiden ja niiden välisten suhteiden ymmärtämisestä itsestään voi tulla kiinnostavaa.

• Erityisesti joustavat tavat lähestyä matemaattisia tehtäviä voivat muuttaa muuten tylsiksi koetut tehtävät kiinnostavammiksi.
• Joustavaan matematiikkaan liittyy myös omien strategioiden keksiminen, joka vahvistaa oppilaiden toimijuutta. Toisin sanoen matematiikkaa ei ole vain ulkopuolelta annettujen ohjeiden mekaanista toteuttamista vaan myös mahdollisuutta osallistua itse matematiikan tekemiseen luovalla tavalla.

Osa oppiaineen kiinnostavuudesta voi liittyä myös niihin oppimisympäristöihin ja välineisiin, joita matematiikan opetuksessa käytetään. Tutkimukset ovat osoittaneet, että pelit ja pelilliset ympäristöt eivät ole mikään kokonaisvaltainen ratkaisu matematiikan kiinnostavaksi tekemiseen, mutta ne tuovat yhden merkittävän lisän opiskeluympäristöjen monipuolistamiseen ja sitä kautta kiinnostuksen lisäämiseen.

Matematiikan opiskelun motivaation lasku on erityisen ongelmallista siksi, että motivaatio näyttäisi tutkimusten mukaan olevan keskeinen pitkän aikavälin oppimisen selittäjä. Mm. laajassa saksalaisessa tutkimuksessa (Murayama, Pekrun, Lichtenfeld & vom Hofe, 2013) seurattiin yli 3000 oppilaan matematiikan osaamista viiden vuoden ajan. Tutkimuksen alussa testeillä mitattu älykkyys oli yhteydessä matematiikan osaamiseen, mutta älykkyyden merkitys väheni kouluvuosien myötä. Sen sijaan keskeisiksi selittäjiksi matematiikan oppimisen muutokselle osoittautui motivaatio ja opiskelussa käytetyt strategiat.

Tämän poikkeuksellisen laajaan aineistoon ja pitkäkestoiseen seurantaan perustuvat tulokset ovat tärkeitä joustavan matematiikan kannalta. Motivaatiotekijöistä matematiikan oppimisen kehittymistä pitkällä aikavälillä selitti ensinnäkin oppilaan usko siihen, että hän voi itse kontrolloida matematiikan oppimista. Ylemmillä luokilla positiivista oppimiskehitystä selittäväksi tekijäksi nousi myös sisäinen motivaatio ja omakohtainen kiinnostus matematiikkaa kohtaan. Tärkeä tavoite joustavan matemaattisen ajattelun opettamisessa on se, että oppilas kokee olevansa aktiivinen toimija, jolla on ”oikeus” myös itse keksiä ja testata erilaisia ratkaisustrategioita. Joustavan matematiikan ohjelman kannalta tärkeä on myös tulos, joka osoitti, että käytetyt strategiat olivat selvästi älykkyyttä tärkeämpi tulevaa matematiikan osaamista ennustava tekijä. https://seafile.utu.fi/f/b39686a9e1d5441e9091/

Lukuisat tutkimukset osoittavat, että oppimiskokemukset, jotka lisäävät oppilaan uskoa omiin kykyihinsä ja samalla tukevat oppilaan autonomiaa ja toimijuutta johtavat kestävään sisäisen motivaation kasvuun.

Joustavan matematiikan opettaminen tarkoittaa, ettei oppilaalle opeteta vain yhtä tapaa ratkaista tehtäviä, vaan opetetaan erilaisia vaihtoehtoisia strategioita ja rohkaistaan omien strategioiden keksimiseen tehtäviä syvällisemmin pohtimalla.

Tässä törmätään yhteen matematiikan opetuksen keskeiseen haasteeseen, oppilaiden erilaisuuteen. Kuinka pitkälle nämä havaittavat erot ovat muuttumattomia synnynnäisiä eroja, missä määrin erot ovat seurausta varhaista kokemuksista kasvuympäristössä ja missä määrin ne ovat enemmänkin koulukokemusten ja kulttuuristen tekijöiden synnyttämiä oppimista tukevia tai sitä rajoittavia uskomuksia.

Amerikkalaisen motivaatiotutkijan Carol Dweckin tutkimukset ovat osoittaneet, että oppilaiden opiskeluun vaikuttaa merkittävästi se, millainen käsitys heillä on kykyjen pysyvyydestä tai muutettavuudesta. Dweck puhuu kulttuurin välittämistä ajattelutavoista (mindset). Usko siihen, että jonkin suorituksen edellyttämiä kykyjä voidaan vahvistaa harjoituksella, näyttää johtavan parempiin oppimistuloksiin kuin staattisiin kykyihin uskova ajattelutapa. Tutkimusten mukaan nämä ajattelutavat ovat muutettavissa ja oppimistilanteissa on mahdollista vahvistaa kykyjen kehitettävyyteen uskovaa ajattelutapaa, joka johtaa puolestaan parempiin oppimistuloksiin. Niin sanotut Growth Mindset -interventiot ovat tuottaneet hyviä tuloksia amerikkalaisessa vahvasti älykkyyseroja korostaneessa kulttuurissa. Mallia on erityisesti toteutettu matematiikan ja luonnontieteiden opetuksessa. Stanfordin yliopiston tutkijoiden tuottamalta Youcubed-sivustolta saa käsityksen niistä ideoista, joita interventioissa käytetään.

Osa näistä keinoista voi vaikuttaa vähän naiiveilta suomalaisesta näkökulmasta osittain siitä syystä, ettei älykkyyserojen korostus ole täällä koskaan ollut niin voimakasta ja tutkimuksien mukaan oppilaat eivät tee kovin jyrkästi eroa kyvyn ja yrityksen välillä. Ilmiö ei kuitenkaan ole pelkästään amerikkalainen. Aivan tuoreessa yli 100 000 oppilaan otokseen perustuvassa tutkimuksessa Chilessä havaittiin, että usko kykyjen kehitettävyyteen selitti yli 11 prosenttia 10.-luokkalaisten oppilaiden matematiikan suoritusten vaihtelusta. (Claro, Paunesku & Dweck, 2016). On tunnettua, että oppilaiden sosioekonominen tausta ennustaa voimakkaasti matemaattisia suorituksia. Kiinnostava havainto tässä tutkimuksessa kuitenkin oli se, että usko matemaattisten kykyjen kehitettävyyteen selitti samalla tavalla suorituksia eri sosioekonomisissa ryhmissä. Eli kykyjen kehitettävyyteen uskovien oppilaiden suorituksen olivat selkeästi parempia kaikissa ryhmissä.

Samasta tutkimuksesta saatiin myös erittäin vakuuttava tulos siitä, että kotitausta vaikuttaa myös siihen millainen ajattelutapa oppilailla on kykyjen kehitettävyydestä. Alempien matalamman sosioekonomisen aseman perheissä näyttää välittyvän muita tyypillisemmin ajatus ei muutettavista kyvyistä.

Vaikka meillä älykkyyserojen korostuksella ei olekaan niin suurta merkitystä, niin matematiikan oppimisen kohdalla myös suomalaisessa kulttuurissa välittyy aika vahvasti staattinen kykykäsitys: ”matikkapää” joko on tai ei. Growth Mindset -interventioissa onkin eräitä piirteitä, jotka tukevat joustavan matematiikan opetuksen ajatuksia. Seuraavassa videossa käymme läpi joitakin periaatteita ja käytännön sovelluksia.

1. Matikkapäämyytin murtaminen ja siirtyminen staattiseen osaamiseen viittaavasta kielenkäytöstä matematiikkakykyjen kehitettävyyttä korostavaan puhetapaan tukee joustavan matematiikan opetuksen ajatusta.
2. Yksi Growth Mindset-intervention opetuksia on, että nopeus ei ole olennaista matematiikan oppimisessa. Joustavan matemaattisen ajattelun kehittyminen vaatii aikaa ja ilmiöiden rauhallista pohdintaa. On tärkeää miettiä, miten tätä aikaa saadaan vapautettua matematiikan tunneilla.
3. Heikostikin matematiikassa menestynyt oppilas voidaan ottaa mukaan tekemään vaativia joustavaa ajattelua ja ongelmanratkaisua vahvistavia tehtäviä, kunhan tilanne on hyvin organisoitu ja oppilas saa tarkoituksenmukaista tukea.

Joustavan matemaattisen ajattelun vahvistaminen

https://seafile.utu.fi/f/7c30661d1684458ca907/

https://seafile.utu.fi/f/2997069988c74524850d/

https://seafile.utu.fi/f/8e1942ff6f594566aa7a/

Harjoittelun merkitys

https://seafile.utu.fi/f/8083324ad63f4df1b441/

Matemaattisen keskustelukulttuurin luominen

Miksi matematiikasta keskusteleminen on tärkeää?

1. Keskustelu voi innostaa, luoda sisäistä motivaatiota ja kasvattaa janoa matematiikkaan.
2. Keskustelu voi inspiroida pohtimaan erilaisia näkökulmia ja kehittää joustavaa matemaattista ajattelua.
3. Keskustelu voi selventää yhteyksiä erilaisten matemaattisten ideoiden välillä ja auttaa hahmottamaan käsitteellisiä kokonaisuuksia.
4. Keskustelu voi luoda pysyviä omakohtaisia merkityksiä matemaattisille objekteille ja avata syvällisesti käsitteitä kaavojen taustalla.

Keskustelu Suomessa: Opetussuunnitelma, pitkittäistutkimus ja yhteys joustavuuteen

https://www.oph.fi/sites/default/files/documents/150841_perusopetuksen_matematiikan_oppimistulosten_pitkittaisarviointi_vuosina_20051.pdf

Opitaanko matematiikkaa todellakin keskustelemalla? - Kansainväliset asiantuntijat pohtivat

Sfard, A., Nesher, P., Streefland, L., Cobb, P., & Mason, J. (1998). Learning mathematics through conversation: Is it as good as they say?. For the learning of mathematics, 18(1), 41-51.

https://flm-journal.org/Articles/1441C850765F7EB64C89E6B2900CA.pdf

Tiivistelmä kolmen oppimisteoreettisen näkökulman suhtautumisesta keskustelun hyödyllisyyteen oppimisessa, Anna Sfard https://drive.google.com/file/d/1yL2Bx0ji-OtZc9SkEz8NCZj6W72v7p0n/view

https://drive.google.com/file/d/1yFa5slRV2ZysZBW3ABzyqIl88hS4pm_l/view

Paul Cobb ja Erna Yackel

Emergent perspective -viitekehys: https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED389535.pdf

Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for research in mathematics education, 458-477.

• Matikkapuhetta: https://drive.google.com/file/d/1znWH24nF_kKn2ONVgrUrUeD8X1taN4UF/view

https://drive.google.com/file/d/1UVTLpG2p0TttPZiUYLjJVM71YTRNBDl6/view

Mathematics Teaching and Learning to Teach, University of Michigan. (2010). In SeanNumbers-Ofala [Online]. Available: http://hdl.handle.net/2027.42/65013 https://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65013

Kaksi kulttuuria

Sexton, M. (2010). Using Concept Cartoons to Access Student Beliefs about Preferred Approaches to Mathematics Learning and Teaching. Mathematics Education Research Group of Australasia. https://drive.google.com/file/d/1D6ACwKCFfe9F1dxiAUKveNp9T6KyBd0z/view

https://www.researchgate.net/publication/228834783_Using_Concept_Cartoons_to_Access_Student_Beliefs_about_Preferred_Approaches_to_Mathematics_Learning_and_Teaching

Swan, M. (2006). Collaborative learning in mathematics. A Challenge to our Beliefs.

http://twittermathcamp.pbworks.com/w/file/fetch/98345576/Collaborative%20Learning%20in%20Mathematics.pdf

Matemaattisen keskustelun synnyttäminen ja tukeminen käytännössä

Pohdi ja kirjoita

• Millaisia sosiaalisia normeja haluaisit muodostuvan omaan luokkaasi tänä lukuvuonna? Miksi?
• Millaiset sosiomatemaattiset normit näet tärkeäksi oman luokkasi matemaattiselle kehitykselle tänä lukuvuonna? Miksi?

https://www.map.mathshell.org/ https://drive.google.com/file/d/1sWnRhI3ZRqQC3sYwtO8rWQvECg8uk4jW/view

Kulttuurin muutos

https://dash.harvard.edu/server/api/core/bitstreams/7312037c-cd46-6bd4-e053-0100007fdf3b/content ja tiivistelmä https://drive.google.com/file/d/1fzrjE9sp36Ogi3gei1gVoPTAcclG_TZ4/view

https://drive.google.com/file/d/1ONV7AIxARG3rnQllTYDHjK4kNKXZHFZX/view

https://drive.google.com/file/d/1w-jiEtVAGfapSltAVPzTiluEgjdsZfJU/view

https://drive.google.com/file/d/1_UplUC47KEauVcRFqTfotFxdBNJ-j4Ym/view

https://drive.google.com/file/d/1_vOecbx8ajYaYDvjGV9-Z37xNNQk2nyy/view

https://drive.google.com/file/d/1yio0eEozhKS-dJmPXw62TJZeUlFIzy3L/view

https://drive.google.com/file/d/1owkqWdmvhOIxDX9aDb99fzthKAJHRKDJ/view

https://drive.google.com/file/d/1L8lCM4BkVUecWPfx_SyM8ryWb0NzJOWE/view

Lämppäreitä: https://drive.google.com/file/d/1efZrdnUf4vfypDAyqEv2ggu86tDHfHwf/view

Viisi askelta: https://drive.google.com/file/d/1z1vEUJr2o4WUYpi-Th1bwpSbXNqMtQPz/view

1. Ennakointi (Anticipating)
2. Tarkkailu (Monitoring)
3. Valinta (Selecting)
4. Järjestäminen (Sequencing)
5. Koonti (Connecting)

https://camsemsgeo.weebly.com/uploads/3/1/0/0/31008293/5practicesdiscourseoutline.pdf

Kysymyksiä

• https://mason.gmu.edu/~jsuh4/teaching/resources/questionsheet_color.pdf
• https://www.pinterest.com/pin/287597126181714459/

Matemaattinen ryhmätyö: https://drive.google.com/file/d/1RRWKCCd_Gb1_bzVxb57Nw-U03rnAF9FE/view

Sarjakuvia: https://drive.google.com/file/d/1r0hvcrn9SWWy2IkyloY2Oo3QdpwM_X5k/view

Keskustelevasta opetuksesta: https://drive.google.com/file/d/1-GOS2eSj_mYdmgDt6MXdZh13PisKd4d4/view

Rakentavan keskustelukulttuurin luominen

https://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65013 ja tiivistelmä https://drive.google.com/file/d/12uepbGfnLuVW5WBXkcNjjoxG1XqgdlGM/view

Joustavan matemaattisen ajattelun tukeminen lukiossa

Taustatiimi

• Jarmo Leskinen
• Markus Hähkiöniemi
• Riina Harri
• Dimitri Tuomela
• Topi Törmä
• Peter Hästö

Mitä joustavuus tarkoittaa

Ei seurata vain yhtä toimintamallia vaan tilanteesta riippuen hyödynnetään erilaisia ajattelutapoja.

Esim

• Ratkaisee ongelman/tehtävän monella eri tavalla
• Valitsee tehokkaan ratkaisutavan
• Vaihtaa ratkaisutavasta toiseen
• Yhdistelee ratkaisutapoja
• Mukauttaa ratkaisutavan uuteen tilanteeseen sopivaksi
• Muodostaa uuden ratkaisutavan aiempien tietojen pohjalta
• Tulkitsee/analysoi erilaisia ratkaisutapoja

• Joustavuus ratkaisustrategian valinnassa
• Joustavuus esitysmuotojen käytössä
• Joustava kuuntelu ja tulkinta

Joustavuutta edellyttäviä ylioppilastehtäviä https://drive.google.com/file/d/19uXwPKINcSclRp7CKM31I-N0XY8sgM13/view

Esimerkkejä siitä, miten kouluarjen toimintoja voisi kehittää paremmin joustavuuden huomioiviksi:

• Seurataan annettuja ohjeita ilman, että tarvitsee tehdä valintoja.(pieniä) valintoja mukaan
• Ratkaisumenetelmä on valmiiksi nimetty. ei nimetä
• Eri oppilaat käyttävät eri ratkaisumenetelmiä, mutta näitä ei verrata. verrataan
• Harjoittelee käyttämään vähintään kahta erilaista menetelmää. lisätään mukaan menetelmän valinta tai muokkaaminen

Herman, J. L., Matrundola, D. L. T., Epstein, S., Leon, S., Dai, Y., Reber, S., & Choi, K. (2015). The Implementation and Effects of the Mathematics Design Collaborative (MDC): Early Findings from Kentucky Ninth-Grade Algebra 1 Courses. CRESST Report 845. National Center for Research on Evaluation, Standards, and Student Testing (CRESST).

Joustavuus matematiikassa https://drive.google.com/file/d/1m-E04cCZIj2ffZD620HOOX-kDTBd8oU1/view

• Star, J. R., & Seifert, C. (2006). The development of flexibility in equation solving. Contemporary Educational Psychology, 31(3), 280-300.

Johdatus ratkaisutapoihin ja representaatioihin

• http://twittermathcamp.pbworks.com/w/file/fetch/98345576/Collaborative%20Learning%20in%20Mathematics.pdf tiivistelmä https://drive.google.com/file/d/1SIKU4lnex73-aHuyGECtPVEcefGNAJv9/view

Erilaiset esitysmuodot, diat: https://drive.google.com/file/d/1itRMII7Mq71rQBBqTLsDvcXdvgjLiHg9/view

Esitysmuotojen yhdistäminen, diat: https://drive.google.com/file/d/1_7OiWLe4nSi_0q7leRCX8ICzDyxdtl4W/view

Päässälaskustrategiat https://drive.google.com/file/d/1RU-cU02HyiOadhl_TeiWd7M6GzF-ga4t/view

Jumissaolo ja sinnikkyys

Masonin, Burtonin ja Staceyn kirja

Mikä sinnikkyyteen vaikuttaa? When Not to Persevere -- Nuances Related to Perseverance in Mathematical Problem Solving1 https://drive.google.com/file/d/1vEp_aVZhgzSW1KMmPmLMlvI8tRTxxTKh/view

Sinnikkyyteen vaikuttavat monet tekijät, kuten:

• Vireystila (uni, ruoka, liikunta, lepo ym…)
• Aikaisemmat kokemukset matematiikan parissa
• Häiriötekijöiden määrä
• Ryhmän ilmapiiri ja vieruskaverit
• Vanhempien ja kavereiden asenteet
• Opettajan esimerkki ja innostuneisuus
• Oppilaan kohdistuva empatia ja jämäkkyys sopivassa suhteessa
• Oppilaan temperamentti
• Tehtävän kiinnostavuus tai hyödyllisyys

Milloin jumi on hyvä asia? Kun jumi

• aiheuttaa sisuuntumista ja perustelujen tai eri näkökulmien pohdintaa
• olon jälkeen saa onnistumisen kokemuksen
• kasvattaa epäonnistumisen sietokykyä
• saa tutkimaan virhekäsitystä tai virhettä

Milloin jumi on huono asia?

• Kun jumin vuoksi aletaan pitää itseä tyhmänä.
• Ei pääse eteenpäin, koska jumi on syvällä.
• Kun jumi on sellaista, jossa ei edes yritetä. Yhtä hyvin voisi käyttää ajan muuhun.

Expectancy-value teoria (esim. Wigfield & Eccles, 2000) jakaa tehtävän hyödyllisyyden seuraaviin alatyyppeihin:

• Kiinnostavuus (interest): Tehtävän tekeminen on nautinnollista
• Saavutus tai meriitti (attainment): Tehtävän tekeminen sopii omaan minäkuvaan tai persoonaan (haluan osata tämän tasoisen tehtävän, haluan olla näin hyvä) (kaveri hyväksyy, jos on ahkera tai kääntäen kaverit ei tykkää, jos on matikkapinko)
• Käyttöarvo (utility): Tehtävän tekeminen on hyödyllistä omien tavoitteiden kannalta: haluan hyväksi ongelmanratkaisijaksi tai haluan työhön, jossa tarvitaan matematiikkaa
• Hinta (cost): Tehtävän tekemisen hinta ei ole liian suuri: Tehtävän tekeminen ei vie liikaa aikaa, ei stressaa liikaa tai ole liian ärsyttävää, ei vaadi liian suurta ponnistelua

Wigfield, A., & Eccles, J. S. (2000). Expectancy–value theory of achievement motivation. Contemporary educational psychology, 25(1), 68-81.

Enemmän puhetta, vähemmän hiljaista laskemista – matematiikasta tuli joustavaa: https://drive.google.com/file/d/11rCCRnzixmuwJ4boIY7WwBke5jakoTQn/view

Kasvun ajattelutapa: https://drive.google.com/file/d/1ySlYSH--RJT0fw8NkZaXFJx3Sy6iJPYr/view

Myönteisten oppimiskokemusten aikaansaaminen

• Miten sinä synnytät myönteisiä oppimiskokemuksia?
• Miten poistat hyvien oppimiskokemusten syntyä estäviä tekijöitä?
• Pohdi kenen oppilaistasi olisi hyvä saada myönteisiä tilanteita ja miten voisit saada sellaisen aikaiseksi.
• Onko sinulla oppilaita, joilla on hyviä onnistumisia, mutta jotka eivät silti usko itseensä? Voitko sanoa heille: “Muistatko, silloinkin opit, vaikka aluksi tuntui ihan käsittämättömältä”?

Blonde Hair Problem: Stylianides & Stylianides, 2014. https://drive.google.com/file/d/1GlRyfsFAZIPGuB67tvIGdEAeIsEXEdRh/view Suomeksi tässä: https://drive.google.com/file/d/1hdPv25xhuN7r2Eie9RegQ-IRCCBRN5bB/view

Konkreettisia oppilaille annettavia ohjeita jumissaolotilanteisiin, https://drive.google.com/file/d/1T_F7vhRz0BAoc1HkQsGmz7YPTW3C0u4a/view

Oppilaiden vuorovaikutus ja päättelyn selittäminen

Oppilas selittää omin sanoin toisen oppilaan perustelun.	1	1
Oppilas kysyy tarkennusta toisen selitykselle.	1
Oppilas esittää keskeneräisen päättelyn.	1
Oppilas haastaa toisen esittämää ideaa.	1	1	1	1	1
Oppilas puolustaa omaa ideaansa.	1	1
Oppilas esittää erilaisen mielipiteen siitä, mikä on helpoin tapa ajatella.	1	1

Pehkonen, E. & Rossi, M (2018) Hyvää matematiikan opetusta etsimässä. s. 58-64 (Matemaattisen ajattelun kehittyminen ja kehittäminen sekä oppilaiden kuunteleminen (kuuntelemisen tasot)

Vertailutehtäviä

Yläkoulu https://docs.google.com/document/d/16pPtN7iBI5XaSZOMMCtTswAtkjoaHTY6CxtN-SiC1ww/edit?tab=t.0#heading=h.opf7xquwj53k

Yläkoulun tutkimustehtävät: https://docs.google.com/document/d/16pPtN7iBI5XaSZOMMCtTswAtkjoaHTY6CxtN-SiC1ww/edit?tab=t.0#heading=h.opf7xquwj53k

Lukio https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wnKNDphmIZq0NhIYHNK_OnE19WAP7T9I06bFHH-VKEY/edit?gid=1532286546#gid=1532286546

Lukion tutkimustehtäviä: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wlTTyY1ViVphMAOVsplQxaSRM0azL64KyORqxffB0sQ/edit?gid=2003620414#gid=2003620414

https://drive.google.com/file/d/1VndzkH8-LGNPIziuBIi3YMYxtdw7bkN7/view

https://drive.google.com/file/d/1UVTLpG2p0TttPZiUYLjJVM71YTRNBDl6/view

Matematiikan opettajien ja opettajaopiskelijoiden käsityksiä vertailumenetelmästä, Riikka Palkki: https://drive.google.com/file/d/1PQ6K4Ocyqr36IiZeS5pELp5HGXWB2aHv/view

• Rittle-Johnson, B., & Star, J. R. (2007). Does comparing solution methods facilitate conceptual and procedural knowledge? An experimental study on learning to solve equations. Journal of Educational Psychology, 99(3), 561.
• Rittle-Johnson, B., & Star, J. R. (2009). Compared with what? The effects of different comparisons on conceptual knowledge and procedural flexibility for equation solving. Journal of Educational Psychology, 101(3), 529.
• Rittle-Johnson, B., Star, J. R., & Durkin, K. (2009). The importance of prior knowledge when comparing examples: Influences on conceptual and procedural knowledge of equation solving. Journal of Educational Psychology, 101(4), 836.
• Rittle‐Johnson, B., Star, J. R., & Durkin, K. (2012). Developing procedural flexibility: Are novices prepared to learn from comparing procedures?. British Journal of Educational Psychology, 82(3), 436-455.
• Rittle-Johnson, B., & Star, J. R. (2011). The power of comparison in learning and instruction: Learning outcomes supported by different types of comparisons. In Psychology of Learning and Motivation (Vol. 55, pp. 199-225). Academic Press.

Vertailutehtäviä ovat mm

• Kumpi on parempi?
• Mitä eroa?
• Miksi se toimii?
• Missä virhe?

Ohjeet keskustelun käymiseen: https://drive.google.com/file/d/1UgEga2pf1oag7OnZl5KvGo8OKoE4EV77/view

https://www.researchgate.net/publication/283545221_Star_J_Kokka_K_2013_Using_Strategic_Interruptions_To_Effectively_Integrate_Whole_Class_and_Small_Group_Instruction_In_Mathematics_The_Mathematics_Educator_1412_1-20

Matemaattinen ryhmätyöskentely

Auta ja pyydä apua

• Pyydä apua ja auta toisia
• Myös toisesta ryhmästä voi hakea apua
• Kuvaile ajatteluasi. Kerro, mitä asioita et ymmärrä
• Vaikuta ilmapiiriin myönteisesti. Rohkaise, kiitä ja kehu

Keskustele joustavasti

• Ota kantaa: Oletko samaa vai eri mieltä? Miksi
• Ole kohtelia. Kritisoi väitteitä, älä henkilöitä
• Liitä ajatuksesi toisten puheenvuoroihin.
• Pyydä miettimisaikaa

Toisto on tärkeää

• Usein kerta ei riitä asian ymmärtämiseen
• Selittäisitkö uudestaan?
• Tarkoitatko, että. . . ?
• Voisiko joku toinen selittää saman asian?

Keskity vastauksen sijaan päättelyyn

• vertaile erilaisia ratkaisutapoja
• Tutki virheellistä päättelyä ja opi siitä
• Kysele ja ihmettel. "Miksiköhän?"
• Etsi lisää näkökulmia. Ole luova! "Entä, jos...?"
• Keksi hyviä kysymyksiä ja kirjoita ne ylös.

Vertailutehtäviä

https://docs.google.com/spreadsheets/d/14WT9wNyATL2YypdPHgV-7Eixf5zhav47GwtmejijgEo/edit?gid=17896792#gid=17896792 erityisesti https://drive.google.com/file/d/1CwP4FQlLLQEXntjB5YE57epxsuP2r-sN/view?usp=sharing

Tavoitteet olivat 1) oppilaat oppisivat (syventäsivät oppimiaan) vähennyslaskun laskujärjestyksestä 2) minä saisin opettajana uusia, hyviä ajatuksia asian opettamiseen. Tuo on haastava asia.

Aion kiinnittää huomiota keskustelun laatuun eri ryhmissä.

Haasteita on tietenkin oppilaiden - saapuminen tunnille. Osa saapuu myöhässä, jolloin ohjeiden antaminen vaikeutuu. Osa ei saavu ollenkaan, joten ennakkoon ei voi varautua järkeviin ryhmiin. - osaaminen. Tulee olemaan mielenkiintoista nähdä, mitä he sanovat tästä. - laskujärjestys. Tämä on aika diipadaapaa, koska kaikkihan (ei oppilaat, mutta opettajat) tietävät, että kommutaatio ja assositaatio toimivat, joten laskujärjesteksellä ei ole tässä tapauksessa väliä. Siis otsikko on jo haastava.

Miten ennaltaehkäistään - poissaoloihin ja myöhystymisiin on ennaltaehkäisty jo koko koulu-uran aikana, eikä siitä ole ollut juuri hyötyä (ehkä, ei voi tietää -- tilanne voisi olla paljon huonopikin). Sairauksiin ei juuri enempää voi vaikuttaa. - laskemista ja vähennyslaskuja ollaan harjoiteltu jostain 2. luokalta lähtien. . .

Jälkireflektointi

Kuinka onnistuin: - Oppilaat huomasivat, että toinen on väärin. Hyvä. Oppilaat oppivat, että ei kannata laskea väärin. Heidänkin mielestään (ehkä vähän biasoitu mielipide) tehtävä on erittäin huono

Mitä yllättävää - ?

Mitä oivalsin? - on haastavaa ottaa toisen tekemiä opetusmateriaalia käyttöön - ne ovat erityyppisiä ja tuntemattomia. - Oivalsin, että en halua näyttää oppilaille huonoa (virheellistä) esimerkkiä

Ennaltaehkäisy - pysy samassa vanhassa

Seurava askel - mene opettamaan opettajankoulutuslaitokselle ja OKL:ään - ihme juttu tämäkin. Mihin pedagogiikkaan perustuu tämä virheellisen ratkaisun näyttäminen?

Seuraava tavoite oppilaille - Työtä, työtä ja työtä. - vähän keskustelua, silleen sopivasti.

Varioinnin merkitys

Tehtävien varioiminen https://drive.google.com/file/d/11rXzi9qz9r49a7Ro__4CwX8UwwrleDX9/view

Vaihtoehtoja tunnin rakenteeksi:

1. Alustus / Ryhmätyö / Loppukeskustelu
   • Voidaan toistaa monta kertaa
2. Alustus / Ryhmätyö / Kaksi ryhmää yhdistyy / Loppukeskustelu
   • Yhdistyneillä ryhmillä voi olla sama tai eri tehtävä
   • Voi valmistaa loppukeskusteluun
3. Alustus / Ryhmätyö / Julistenäyttely / Loppukeskustelu
   • Julistenäyttely voi innostaa ja valmistaa loppukeskusteluun
4. Kotiryhmät / Jakoryhmät
   • Kotiryhmillä eri tehtävät, jakoryhmissä sekoitetaan
   • Vastuuttaa oppilaita, lisää keskustelua ja osallistumista ryhmissä, syö loppukeskustelua

Viisi askelta rakentavien keskustelujen virittämiseen https://drive.google.com/file/d/1HsFEgd8HsUllkAdoQWv6IfYrbYBpnFU5/view

Yleisiä huomioita ja vinkkejä joustavien tehtävien käyttöön:

• Tehtävissä, joissa pyydetään ratkaisemaan tehtävä usealla eri tavalla, on tärkeintä ensin löytää yksi tapa. Koko luokan keskustelussa voi sitten nostaa esille erilaisia ratkaisuja kaikkien vertailtavaksi.
• Jotkin tehtävät koostuvat useista tehtäväsarjoista. Näissä tehtävissä ei tarvitse ratkoa kaikkia sarjoja, mutta olisi hyvä ratkaista kaikki samassa sarjassa olevat tehtävät. Tyypillisesti tehtäväsarjat koostuvat erilaisista yhtälöistä, joissa on pieniä eroja. Tällöin oleellista on pohtia, miten pienet erot vaikuttavat tehtävän ratkaisemiseen ja ratkaisuihin. Tehtäväsarjoista voi myös antaa eri pienryhmille eri sarjan ja pyytää lopuksi pienryhmiä esittelemään havaintojaan kaikille yhteisesti.
• Joissakin tehtävissä kysytään, pitävätkö väitteet paikaansa vai eivät, tai voiko jotain päätellä tietyistä oletuksista. Näissä tehtävissä joustavuus ilmenee erilaisina päättely- ja perustelutapoina, joiden erot voivat olla pieniäkin. Tällöin on erityisen tärkeää, että oppilaat kertovat, miten ratkaisuunsa päätyivät ja vertailevat keskenään, oliko heidän ongelmanratkaisustavoissaan tai perusteluissaan eroja.
• Tehtävissä, joissa pyydetään antamaan esimerkki, saadaan usein monenlaisia ratkaisuja. Koska myös tapoja löytää toimiva esimerkki on lukuisia, niin oppilaita kannattaa pyytää selittämään, miten he päätyivät esimerkkiinsä.
• Myös virheelliset ratkaisut ovat hedelmällisiä keskustelun paikkoja.
• Nopeimmille ratkojille voi antaa eriyttäviä “Entä jos”-kysymyksiä: Miten tehtävän ratkaiseminen muuttuu, jos jotain pientä asiaa (esim. Lukua, funktiota, määrittelyjoukkoa) tehtävänannossa muutetaan. Joissakin tehtävissä tällaisia kysymyksiä löytyykin Pohdinta-osiosta.

Vertailukeskustelun käyminen: https://drive.google.com/file/d/1UgEga2pf1oag7OnZl5KvGo8OKoE4EV77/view

Oman joustavuustehtävän suunnitteleminen ja toteutus

Argumentaatiotehtävän laatiminen

• Laadi muutama aiheeseen liittyvä vaihtoehtoinen väittämä ja laita oppilaat valitsemaan niistä, mitä kannattavat. Väittämistä syntyy helpommin keskustelua, kun useampi väittämä on mahdollista perustella (korjattuna) oikeaksi tai kaikki ovat virheellisiä.
• Laadi tehtävä, jossa oppilaat tuottavat ratkaisutavan itse ja mahdollisia ratkaisuja on useita. Ongelmanratkaisutehtävät ovat usein hyviä.
• Muokkaa jotain olemassa olevaa argumentaatiotehtävää. Vaihda esimerkiksi Päässälaskustrategiat-tehtävä toiselle lukualueelle tai käytä eri laskutoimitusta.

Vertailutehtävän laatiminen

• Kohtaat tuon tuostakin kiinnostavia ratkaisuja (omaperäisiä tai virheellisiä), miksetpä nostaisi kahta hyvin yhteensopivaa ratkaisua vertailutehtäväksi? Usein toinen ratkaisusta on ns. “standardi”.

Tehtävätyypit-miniteeman lähestymistavat

• Miniteemassa Tehtävätyypit esiteltiin luokittelu, erilaiset esitysmuodot, väitteet, tehtävien luominen toisille ja valmiin analysoiminen kätevinä näkökulmina joustavuutta tukevan tehtävän suunnitteluun. Alla on esimerkkejä näiden tehtävätyyppien hyödyntämisestä:
• Malcolm Swan - Collaborative learning in mathematics (alkuperäinen artikkeli http://twittermathcamp.pbworks.com/w/file/fetch/98345576/Collaborative%20Learning%20in%20Mathematics.pdf)
• Esimerkki viidestä tehtävätyypistä lukujonojen kontekstissa https://drive.google.com/file/d/1cJr2fI0dQzOAzXR-TAwQKUMSlWZrkXn4/view
• Swanin tehtävätyyppien hyödyntäminen ja improvisointi https://drive.google.com/file/d/1N2ecFCDaNLxTFVpgUVSGp-qlW13V43Qr/view

Oppikirjan tehtävän muuttaminen (nk. varioiminen)

• Oppikirjoistakin löytyy hyviä tehtäviä tai niitä voi muokata sopiviksi.
• Oppikirjan tehtävän voi “kääntää toisinpäin”: Jos oppikirjan tehtävässä pyydetään esimerkiksi laskemaan tietyn suunnikkaan pinta-ala (vastaus 20), voi tehtävän kääntää sellaiseksi, että kysytään millaisilla suunnikkailla pinta-ala on 20 tai hieman tarkemmin, että mikä suunnikkaan piiri voi olla.
• Oppikirjan tehtävästä voi poistaa rajoitteita tai oletuksia, jolloin useampi ratkaisutapa tai jopa vastaus on mahdollinen. Jos esimerkiksi sanallinen tehtävä pyydetään ratkaisemaan yhtälön avulla, voi tämän vaatimuksen jättää pois. Tai jos pyydetään tutkimaan, millä annetuista ensimmäisen asteen polynomiyhtälöistä on ratkaisu, voi kysyä ilman yhtälöitä, milloin ensimmäisen asteen polynomiyhtälöllä on ratkaisu.
• Toisinaan oppikirjassa oleva tehtävä muuttuu joustavuutta tukevaksi pelkästään käyttämällä tehtävää ennen kuin aihe opetetaan eli johdantona aiheeseen. Kun esimerkkejä ratkaisutavoista ei ole vielä esitetty, oppilaat voivat kehittää omia erilaisia ratkaisutapojaan. Esimerkiksi artikkelissa (https://dimensiolehti.fi/suunnikkaan-pinta-ala-japanilaisittain/) kuvailtu suunnikkaan pinta-alan tehtävä perustui juuri tähän.

Variointitehtävä

• Voit laatia myös varioimistehtävän, jossa oppilaat itse muokkaavat oppikirjan tehtävää tai joustavuustehtävää eteenpäin. Linkki: Variointi https://drive.google.com/file/d/11rXzi9qz9r49a7Ro__4CwX8UwwrleDX9/view

Hyvien englanninkielisten materiaalien soveltaminen

• Voit selata myös olemassaolevia korkeatasoisia (englanninkielisiä) tehtäviä ja käyttää niitä pohjana ideoillesi:
• Mathematics assessment project https://www.map.mathshell.org/lessons.php
• NRICH yläkoulun tehtäviä
• NRICH lukion tehtäviä https://nrich.maths.org/post-16-curriculum

Joustavuustehtäväpankki: https://seafile.utu.fi/d/b3a3d49e64e847b38de1/

Reflektio

• Millaisia oivalluksia on tapahtunut?
• Missä koen kehittyneeni eniten?
• Miten miniteemat ilmenevät opetuksessani? Mihin aion keskittyä jatkossa?
• Entä miten joustavuusmateriaalin käyttö onnistui?
• Mihin tarkoitukseen aion käyttää joustavuusmateriaalia jatkossa?
• Miltä oman joustavuustehtävän suunnittelu tuntui?
• Aionko suunnitella vastaavantyyppisiä tehtäviä jatkossa? Miksi? Miksi en?
• Mikä oli vaikeaa? Mikä auttoi ylittämään haasteita?
• Miten aion soveltaa kurssilla oppimaani jatkossa?
• Millä rooli joustavan ajattelun tukemisella on opetuksessani jatkossa?
• Millä tavoin tuntien aikana improvisoimalla aion tukea jatkossa joustavaa matemaattista ajattelua?
• Millaisia kysymyksiä haluaisit esittää kollegoillesi, jotka kommentoivat loppureflektiotasi?