Integraalipäivät 2021

Johdanto

Ruotsalainen alkuperä https://www.kleindagarna.se/

Teoriaa

HARPPIFESTIVAALIT: marraskuu 2021.

Blockly, Processing.

Samuli Siltanen: Valokuvat & videot

Filttereitä, normeeraus. Matriisilaskenta. GIMP.

Myös fysiikkaa: nopeus, värivastefunktiot (tappisolujen herkkyyskäyrät).

• Kanavat
• Negatiivikuvat
• Yhteenlasku. Maksimi on valkoinen, pitää skaalata

1. kuvaus yhdellä valolla: yhdistetään

• Kertolasku.

1. Valkoisella (1, 1-bittinen), mustalla (0, 1-bittinen)
2. Sileä ykkösen ositus.

• Tilastolliset tunnusluvut

1. Keskiarvo: Haamuja
2. Mediaani: Poistaa ihmiset
3. Moodi
4. Histogrammi

• Neliöjuuri: Curves, vaalentaa kuvat.
• Logaritmit ja gammakorjaus: Vanhojen kellastuneiden kuvien korjaus.

1. Valkoinen
2. Gammakorjaus punaiselle: r^gamma = g. (r=208/255, g = 184/255). Sama gamma kaikille punaisen pikseleille. Sama uusi gamma kaikille sinisen pikseleille.

• min, max, sqrt

1. tummat tummenee, vaaleat vaalenee

• derivaatta (vaaka, pysty ja aika)

1. Sarakkeiden erottaminen toisistaan: pysty
2. Vaakaarakkeiden erottaminen toisistaan: vaaka
3. osittaisderivaatat
4. Reuna-algoritmi, itseisarvo. FFT

• Aikaderivaatta. Tuomo Rainio; tanssin ja derivaatan yhdistelmä videolla

1. Ahvenenpoisto yhtälöryhmillä. Harmoninen kuvanpaikkaus.
2. Poisson'n yhtälö, Dirichlet'n ongelma

• Peilaus, flip, flop
• Epälineraarisuus
• Napakoordinaatit
• Epälineaariset muunnkset, esim. suuret silmät warpilla
• Beltramin yhtälöt
• Tynnyrivääristymät
• Affiinimuunnokset
• Kuvan pakkaaminen (Wavelet)
• Rotaatiot

Taulukkolaskennassa.

Maarit Järvenpää: Fraktaalien matematiikkaa

Mitä ovat, mitä työkaluja käytetään. Minkälaisissa matemaattisissa ongelmissa fraktaaleihin törmätään. Fraktaalimittojen massajakaumien matikkaa. Analyysi, mitta- ja integraaliteoria, dynaamiset systemit, lukuteoria. . . Romanesco.

• Wikipedia: Mandelbrot Zoom
• Neulankääntöongelma (Kakeya 1917). Paras konveksi joukko tasasivuinen kolmio: $A=1/{\sqrt {3}}$ (Pal 1921). Ei-konveksi joukko Steinerin käyrän sisäpuoli: $A=\pi /8$. Mielivaltaisen pieni $A$ Besicovitch (1919, 1928). Janan siirtäminen jatkuvasti suoralta toiselta.
• Cantorin joukko: Poistetaan rekursiivisesti keskeltä kolmannes. $C=\cap _{k=1}^{\infty }\cup _{i=1}^{2^{k}}I_{k,i}$. Cantorin koukon pituus $\ell (C)\to 0$. Mitkä pisteet kuuluvat Cantorin joukkoon? Pisteet vastaavat nollien ja ykkösten muodostamia päättymättömiä (bitti)jonoja: Osoite, tai koodi. Esim: $0=0000...$, $1=1111...$, $1/3=0111111...$ ?? <- tarkista nuo. (Ketjumurtoluvut ja Cantorin joukko!). Cantorin joukko on ylinumeroituva: Perustelu helppo.
• Kochin käyrä. $\ell (K)=4^{k}\cdot 3^{-k}\to \infty$. Tasoss pinta-ala (kun neljän neliön konstruointi) $A(C)=4^{k}\cdot 3^{k}\cdot 3^{k}\to 0$. Cantorin satunnaisjoukko tasossa.
• Fraktaalimitta: dimensio. Useita eri dimension käsitteitä. Hausdorffin mitta. Minkowskin dimensio.

Soluautomaatti.

Mats Gyllenberg: Tartuntautien matematiikkaa

Matematiikalla pystytään selittämään, minkä tavalla asiat käyttäytyy, miten ne käyttäytyy. Vrt: Kepler/ Newtonin mekaniikkaa.

Kuinka suuri populaatiosta sairastuu epidemiaan. YO K12/8: Virukseen ei voi sairastua -- viruksen aiheuttamaan tautiin voi sairastua. Kaikki eivät sairastu epidemiaan: esim. musta surma. Minkä takia kaikki eivät sairastu? Malaria (Sir Ronald Moss??) Plasmadium-niminen alkueläin. Riittää, että saadaan hyttysten lukumäärä tietyn lukumäärän alapuolelle -- sekin vaikeaa. Suomessa malariaa Porkkalasta 1956?? Suomessa elää neljää lajia hyttystä, jotka voivat levittää malariaa.

Kynnysilmiö.

Rokotus. Vihurirokko Suomessa 1970-luvun alussa. Vihurirokko lievä lastentauti, mutta vaarallinen sikiölle, jos raskaana oleva nainen sairastuu raskauden ensimmäisen kolmen kk:n aikana. Ohjelman aikana raskaudenaikaiset tapaukset lisääntyivät -- tapa jolla rokotusohjelma toteutettiin, oli pielessä.

Malli: Suljettu populaatio jaetaan kolmeen osaan: S(eptable), I(nfected) ja R(emoved, toipuvat tai kuolleet). $S\to I\to R$

${\begin{aligned}dS/dt&=-\beta SI\\dI/dt&=\beta SI-\alpha I\\S+I+R&=N={\text{vakio}}\end{aligned}}$

Jotta epidemia voisi syntyä, $dI/d0>0$ alussa, kun $S=N$.

$\beta N-\alpha >0$

$R_{0}\equiv {\frac {\beta N}{\alpha }}>1$

Jos $R_{0}<1$: $1+R_{0}+R_{0}^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-R_{0}}}$ on pieni luku. Ei synny epidemiaa.

Jos $R_{0}>1$: $1+R_{0}+R_{0}^{2}+\cdots \to \infty$. Alussa kasvaa eksponentiaalisesti.

Mitä $\beta$ tarkoittaa: $\beta =pc$, missä $p$ todennäköisyys leviämiseen ja Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} kontaktien lukumäärä. Suomessa 150 vuotta sitten samassa huoneessa asui monta ihmistä, nyt vähemmän: ei ole kontakteja.

Montako sairastuu tautiin? Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = S/N} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=I/N}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} ds/ dt &= -\beta NSi \\ di/ dt &= \beta Nsi - \alpha i \\ \end{align}}

Ratkaistaan käyrä Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle si} -tasossa: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle di/ds = -1 - \frac{\alpha}{\beta N} \frac1S = -1 - \frac1{R_0} \frac1S} . Joten Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = -s + \frac1{R_0}\ln s + C} . Alussa Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\to-\infty} ; Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\to0} ja Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s\to1} . Siis Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C=1} ja

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = 1 - s + \frac1{R_0}\ln s}

Kun epidemia on ohitse: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\to\infty} . Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} on negatiivinen ja alhaalta rajoitettu: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s\to s(\infty)} . Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} :n raja-arvo on nolla.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln s(\infty) = R_0( s(\infty) - 1 ) }

Ratkaistaan Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} graafisesti. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(0)} , osuus joka ei koskaan sairastu.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = \frac{\beta N}\alpha} . Jos rokutusohjelma, niin (kausi-inlfuenssi, jolloin rokote annetaan ennen taudin alkua). Kuinka iso osuus populaatiosta pitää rokottaa, jotta epidemiaa ei syntyisi.

Rokotuskattavuus Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_E = {1-f}{R_0} < 1} , niin epidemiaa ei synny. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f > 1 - \frac1{R_0}} . Kausi-influenssassa Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = 2\dots3} , jolloin Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \approx 2/3 \approx70\%} .

Vihurirokko

Vihurirokkotapaus. Edellinen oli suljettu populaatio.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} dS/ dt &= B -\beta SI -\mu S \\ dI/ dt &= \beta SI - \alpha I -\mu I \\ \end{align}}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = \mu N} , jolloin kuolleisuus ja syntyvyys on tasapainossa ja analyysi helpottuu aika tavalla.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = \frac{\beta N}{\alpha+\mu}}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_E = (1-f)R_0}

1970-luvulla rokotettiin vain tytöt: pojille tauti on täysin vaaraton. Sairastumisiän odotusarvo. Ensin todennäköisyystiheys, a on ikä.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dS/dt = dI/dt = 0} . Tasapainokohta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{s} = N/R_0} . Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline I = \frac{\mu}{\beta}(R_0-1)} .

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(a) = (\mu + \beta \overline I) e^{-(\mu + \beta)I}}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline a = \int_0^\infty a\phi(a)da = \frac1{\mu R_0}} . Rokotus: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline a = \frac1{\mu R_E}} . Sairastumisiän odotusarvo kasvaa, jos huonosti suunniteltu ikä. Vihurirokolle Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 \approx 7} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\mu \approx 80} (eliniän odotus). Ilman rokotusta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline a = 80/7 = 11} . Rokotus oli vain tytöille, joten Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\approx 0.4} , joten Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline a = 1/(\mu 0.6 \cdot7) \approx 20} vuotta.

Harjoituksia

• Digitaalinen aurinkokello, Kenneth Falconer (1980-luvulla). Häiriöitä tulee, mutta niiden mitta on nolla.

• mathigon

• Chaos game.

• Fraktaalien reunat (Pythagoras, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt2} , milloin pituudet lähenevät toisiaan). Huom: kolmiot hypotenuusalla.

Viitteitä

Kuva:

• https://maol.fi/app/uploads/2020/09/MAOL_paja5_mustavalkoista.pdf
• https://maol.fi/app/uploads/2020/09/maol_mustavalkoista_taidetta_biteilla.pdf

• https://www.dropbox.com/s/bpwjrpmevslxgzw/Kamppivideo_yhdistetty.mp4?dl=0

Fraktaali:

• https://www.youtube.com/watch?v=j-dce6QmVAQ
• http://ekroc.weebly.com/uploads/2/1/6/3/21633182/mscessay-final.pdf
• Multifractal analysis of sentence lengths in English literary texts