Integraalipäivät 2021

Johdanto

Ruotsalainen alkuperä https://www.kleindagarna.se/

Teoriaa

HARPPIFESTIVAALIT: marraskuu 2021.

Blockly, Processing.

Samuli Siltanen: Valokuvat & videot

Filttereitä, normeeraus. Matriisilaskenta. GIMP.

Myös fysiikkaa: nopeus, värivastefunktiot (tappisolujen herkkyyskäyrät).

• Kanavat
• Negatiivikuvat
• Yhteenlasku. Maksimi on valkoinen, pitää skaalata

1. kuvaus yhdellä valolla: yhdistetään

• Kertolasku.

1. Valkoisella (1, 1-bittinen), mustalla (0, 1-bittinen)
2. Sileä ykkösen ositus.

• Tilastolliset tunnusluvut

1. Keskiarvo: Haamuja
2. Mediaani: Poistaa ihmiset
3. Moodi
4. Histogrammi

• Neliöjuuri: Curves, vaalentaa kuvat.
• Logaritmit ja gammakorjaus: Vanhojen kellastuneiden kuvien korjaus.

1. Valkoinen
2. Gammakorjaus punaiselle: r^gamma = g. (r=208/255, g = 184/255). Sama gamma kaikille punaisen pikseleille. Sama uusi gamma kaikille sinisen pikseleille.

• min, max, sqrt

1. tummat tummenee, vaaleat vaalenee

• derivaatta (vaaka, pysty ja aika)

1. Sarakkeiden erottaminen toisistaan: pysty
2. Vaakaarakkeiden erottaminen toisistaan: vaaka
3. osittaisderivaatat
4. Reuna-algoritmi, itseisarvo. FFT

• Aikaderivaatta. Tuomo Rainio; tanssin ja derivaatan yhdistelmä videolla

1. Ahvenenpoisto yhtälöryhmillä. Harmoninen kuvanpaikkaus.
2. Poisson'n yhtälö, Dirichlet'n ongelma

• Peilaus, flip, flop
• Epälineraarisuus
• Napakoordinaatit
• Epälineaariset muunnkset, esim. suuret silmät warpilla
• Beltramin yhtälöt
• Tynnyrivääristymät
• Affiinimuunnokset
• Kuvan pakkaaminen (Wavelet)
• Rotaatiot

Taulukkolaskennassa.

Maarit Järvenpää: Fraktaalien matematiikkaa

Mitä ovat, mitä työkaluja käytetään. Minkälaisissa matemaattisissa ongelmissa fraktaaleihin törmätään. Fraktaalimittojen massajakaumien matikkaa. Analyysi, mitta- ja integraaliteoria, dynaamiset systemit, lukuteoria. . . Romanesco.

• Wikipedia: Mandelbrot Zoom
• Neulankääntöongelma (Kakeya 1917). Paras konveksi joukko tasasivuinen kolmio: $A=1/{\sqrt {3}}$ (Pal 1921). Ei-konveksi joukko Steinerin käyrän sisäpuoli: $A=\pi /8$. Mielivaltaisen pieni $A$ Besicovitch (1919, 1928). Janan siirtäminen jatkuvasti suoralta toiselta.
• Cantorin joukko: Poistetaan rekursiivisesti keskeltä kolmannes. $C=\cap _{k=1}^{\infty }\cup _{i=1}^{2^{k}}I_{k,i}$. Cantorin koukon pituus $\ell (C)\to 0$. Mitkä pisteet kuuluvat Cantorin joukkoon? Pisteet vastaavat nollien ja ykkösten muodostamia päättymättömiä (bitti)jonoja: Osoite, tai koodi. Esim: $0=0000...$, $1=1111...$, $1/3=0111111...$ ?? <- tarkista nuo. (Ketjumurtoluvut ja Cantorin joukko!). Cantorin joukko on ylinumeroituva: Perustelu helppo.
• Kochin käyrä. $\ell (K)=4^{k}\cdot 3^{-k}\to \infty$. Tasoss pinta-ala (kun neljän neliön konstruointi) $A(C)=4^{k}\cdot 3^{k}\cdot 3^{k}\to 0$. Cantorin satunnaisjoukko tasossa.
• Fraktaalimitta: dimensio. Useita eri dimension käsitteitä. Hausdorffin mitta. Minkowskin dimensio.

Soluautomaatti.

Mats Gyllenberg: Tartuntautien matematiikkaa

Matematiikalla pystytään selittämään, minkä tavalla asiat käyttäytyy, miten ne käyttäytyy. Vrt: Kepler/ Newtonin mekaniikkaa.

Kuinka suuri populaatiosta sairastuu epidemiaan. YO K12/8: Virukseen ei voi sairastua -- viruksen aiheuttamaan tautiin voi sairastua. Kaikki eivät sairastu epidemiaan: esim. musta surma. Minkä takia kaikki eivät sairastu? Malaria (Sir Ronald Moss??) Plasmadium-niminen alkueläin. Riittää, että saadaan hyttysten lukumäärä tietyn lukumäärän alapuolelle -- sekin vaikeaa. Suomessa malariaa Porkkalasta 1956?? Suomessa elää neljää lajia hyttystä, jotka voivat levittää malariaa.

Kynnysilmiö.

Rokotus. Vihurirokko Suomessa 1970-luvun alussa. Vihurirokko lievä lastentauti, mutta vaarallinen sikiölle, jos raskaana oleva nainen sairastuu raskauden ensimmäisen kolmen kk:n aikana. Ohjelman aikana raskaudenaikaiset tapaukset lisääntyivät -- tapa jolla rokotusohjelma toteutettiin, oli pielessä.

Malli: Suljettu populaatio jaetaan kolmeen osaan: S(eptable), I(nfected) ja R(emoved, toipuvat tai kuolleet). $S\to I\to R$

${\begin{aligned}dS/dt&=-\beta SI\\dI/dt&=\beta SI-\alpha I\\S+I+R&=N={\text{vakio}}\end{aligned}}$

Jotta epidemia voisi syntyä, $dI/d0>0$ alussa, kun $S=N$.

$\beta N-\alpha >0$

$R_{0}\equiv {\frac {\beta N}{\alpha }}>1$

Jos $R_{0}<1$: $1+R_{0}+R_{0}^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-R_{0}}}$ on pieni luku. Ei synny epidemiaa.

Jos $R_{0}>1$: $1+R_{0}+R_{0}^{2}+\cdots \to \infty$. Alussa kasvaa eksponentiaalisesti.

Mitä $\beta$ tarkoittaa: $\beta =pc$, missä $p$ todennäköisyys leviämiseen ja $c$ kontaktien lukumäärä. Suomessa 150 vuotta sitten samassa huoneessa asui monta ihmistä, nyt vähemmän: ei ole kontakteja.

Montako sairastuu tautiin? $s=S/N$, $i=I/N$

${\begin{aligned}ds/dt&=-\beta NSi\\di/dt&=\beta Nsi-\alpha i\\\end{aligned}}$

Ratkaistaan käyrä $si$-tasossa: $di/ds=-1-{\frac {\alpha }{\beta N}}{\frac {1}{S}}=-1-{\frac {1}{R_{0}}}{\frac {1}{S}}$. Joten $i=-s+{\frac {1}{R_{0}}}\ln s+C$. Alussa $t\to -\infty$; $i\to 0$ ja $s\to 1$. Siis $C=1$ ja

$i=1-s+{\frac {1}{R_{0}}}\ln s$

Kun epidemia on ohitse: $t\to \infty$. $s$ on negatiivinen ja alhaalta rajoitettu: $s\to s(\infty )$. $i$:n raja-arvo on nolla.

$\ln s(\infty )=R_{0}(s(\infty )-1)$

Ratkaistaan $s$ graafisesti. $s(0)$, osuus joka ei koskaan sairastu.

$R_{0}={\frac {\beta N}{\alpha }}$. Jos rokutusohjelma, niin (kausi-inlfuenssi, jolloin rokote annetaan ennen taudin alkua). Kuinka iso osuus populaatiosta pitää rokottaa, jotta epidemiaa ei syntyisi.

Rokotuskattavuus $f$. $R_{E}={1-f}{R_{0}}<1$, niin epidemiaa ei synny. $f>1-{\frac {1}{R_{0}}}$. Kausi-influenssassa $R_{0}=2\dots 3$, jolloin $f\approx 2/3\approx 70\%$.

Vihurirokko

Vihurirokkotapaus. Edellinen oli suljettu populaatio.

${\begin{aligned}dS/dt&=B-\beta SI-\mu S\\dI/dt&=\beta SI-\alpha I-\mu I\\\end{aligned}}$

$\beta =\mu N$, jolloin kuolleisuus ja syntyvyys on tasapainossa ja analyysi helpottuu aika tavalla.

$R_{0}={\frac {\beta N}{\alpha +\mu }}$

$R_{E}=(1-f)R_{0}$

1970-luvulla rokotettiin vain tytöt: pojille tauti on täysin vaaraton. Sairastumisiän odotusarvo. Ensin todennäköisyystiheys, a on ikä.

Harjoituksia

• Digitaalinen aurinkokello, Kenneth Falconer (1980-luvulla). Häiriöitä tulee, mutta niiden mitta on nolla.

• mathigon

• Chaos game.

• Fraktaalien reunat (Pythagoras, ${\sqrt {2}}$, milloin pituudet lähenevät toisiaan). Huom: kolmiot hypotenuusalla.

Viitteitä

Kuva:

• https://maol.fi/app/uploads/2020/09/MAOL_paja5_mustavalkoista.pdf
• https://maol.fi/app/uploads/2020/09/maol_mustavalkoista_taidetta_biteilla.pdf

• https://www.dropbox.com/s/bpwjrpmevslxgzw/Kamppivideo_yhdistetty.mp4?dl=0

Fraktaali:

• https://www.youtube.com/watch?v=j-dce6QmVAQ
• http://ekroc.weebly.com/uploads/2/1/6/3/21633182/mscessay-final.pdf
• Multifractal analysis of sentence lengths in English literary texts