Integraalipäivät 2021

Johdanto

Ruotsalainen alkuperä https://www.kleindagarna.se/

Muita muistiinpanoja https://cod3v.info/index.php?title=Notes_on_seminars,_videos_and_books#Courses

Teoriaa

HARPPIFESTIVAALIT: marraskuu 2021.

Blockly, Processing.

Samuli Siltanen: Valokuvat & videot

Filttereitä, normeeraus. Matriisilaskenta. GIMP.

Myös fysiikkaa: nopeus, värivastefunktiot (tappisolujen herkkyyskäyrät).

• Kanavat
• Negatiivikuvat
• Yhteenlasku. Maksimi on valkoinen, pitää skaalata

1. kuvaus yhdellä valolla: yhdistetään

• Kertolasku.

1. Valkoisella (1, 1-bittinen), mustalla (0, 1-bittinen)
2. Sileä ykkösen ositus.

• Tilastolliset tunnusluvut

1. Keskiarvo: Haamuja
2. Mediaani: Poistaa ihmiset
3. Moodi
4. Histogrammi

• Neliöjuuri: Curves, vaalentaa kuvat.
• Logaritmit ja gammakorjaus: Vanhojen kellastuneiden kuvien korjaus.

1. Valkoinen
2. Gammakorjaus punaiselle: r^gamma = g. (r=208/255, g = 184/255). Sama gamma kaikille punaisen pikseleille. Sama uusi gamma kaikille sinisen pikseleille.

• min, max, sqrt

1. tummat tummenee, vaaleat vaalenee

• derivaatta (vaaka, pysty ja aika)

1. Sarakkeiden erottaminen toisistaan: pysty
2. Vaakaarakkeiden erottaminen toisistaan: vaaka
3. osittaisderivaatat
4. Reuna-algoritmi, itseisarvo. FFT

• Aikaderivaatta. Tuomo Rainio; tanssin ja derivaatan yhdistelmä videolla

1. Ahvenenpoisto yhtälöryhmillä. Harmoninen kuvanpaikkaus.
2. Poisson'n yhtälö, Dirichlet'n ongelma

• Peilaus, flip, flop
• Epälineraarisuus
• Napakoordinaatit
• Epälineaariset muunnkset, esim. suuret silmät warpilla
• Beltramin yhtälöt
• Tynnyrivääristymät
• Affiinimuunnokset
• Kuvan pakkaaminen (Wavelet)
• Rotaatiot

Taulukkolaskennassa.

Maarit Järvenpää: Fraktaalien matematiikkaa

Mitä ovat, mitä työkaluja käytetään. Minkälaisissa matemaattisissa ongelmissa fraktaaleihin törmätään. Fraktaalimittojen massajakaumien matikkaa. Analyysi, mitta- ja integraaliteoria, dynaamiset systemit, lukuteoria. . . Romanesco.

• Wikipedia: Mandelbrot Zoom
• Neulankääntöongelma (Kakeya 1917). Paras konveksi joukko tasasivuinen kolmio: $A=1/{\sqrt {3}}$ (Pal 1921). Ei-konveksi joukko Steinerin käyrän sisäpuoli: $A=\pi /8$. Mielivaltaisen pieni $A$ Besicovitch (1919, 1928). Janan siirtäminen jatkuvasti suoralta toiselta.
• Cantorin joukko: Poistetaan rekursiivisesti keskeltä kolmannes. $C=\cap _{k=1}^{\infty }\cup _{i=1}^{2^{k}}I_{k,i}$. Cantorin koukon pituus $\ell (C)\to 0$. Mitkä pisteet kuuluvat Cantorin joukkoon? Pisteet vastaavat nollien ja ykkösten muodostamia päättymättömiä (bitti)jonoja: Osoite, tai koodi. Esim: $0=0000...$, $1=1111...$, $1/3=0111111...$ ?? <- tarkista nuo. (Ketjumurtoluvut ja Cantorin joukko!). Cantorin joukko on ylinumeroituva: Perustelu helppo.
• Kochin käyrä. $\ell (K)=4^{k}\cdot 3^{-k}\to \infty$. Tasoss pinta-ala (kun neljän neliön konstruointi) $A(C)=4^{k}\cdot 3^{k}\cdot 3^{k}\to 0$. Cantorin satunnaisjoukko tasossa.
• Fraktaalimitta: dimensio. Useita eri dimension käsitteitä. Hausdorffin mitta. Minkowskin dimensio.

Soluautomaatti.

Mats Gyllenberg: Tartuntautien matematiikkaa

Matematiikalla pystytään selittämään, minkä tavalla asiat käyttäytyy, miten ne käyttäytyy. Vrt: Kepler/ Newtonin mekaniikkaa.

Kuinka suuri populaatiosta sairastuu epidemiaan. YO K12/8: Virukseen ei voi sairastua -- viruksen aiheuttamaan tautiin voi sairastua. Kaikki eivät sairastu epidemiaan: esim. musta surma. Minkä takia kaikki eivät sairastu? Malaria (Sir Ronald Moss??) Plasmadium-niminen alkueläin. Riittää, että saadaan hyttysten lukumäärä tietyn lukumäärän alapuolelle -- sekin vaikeaa. Suomessa malariaa Porkkalasta 1956?? Suomessa elää neljää lajia hyttystä, jotka voivat levittää malariaa.

Kynnysilmiö

Katso Maxima-lasku

Rokotus. Vihurirokko Suomessa 1970-luvun alussa. Vihurirokko lievä lastentauti, mutta vaarallinen sikiölle, jos raskaana oleva nainen sairastuu raskauden ensimmäisen kolmen kk:n aikana. Ohjelman aikana raskaudenaikaiset tapaukset lisääntyivät -- tapa jolla rokotusohjelma toteutettiin, oli pielessä.

Malli: Suljettu populaatio jaetaan kolmeen osaan: S(eptable), I(nfected) ja R(emoved, toipuvat tai kuolleet). $S\to I\to R$

${\begin{aligned}dS/dt&=-\beta SI\\dI/dt&=\beta SI-\alpha I\\S+I+R&=N={\text{vakio}}\end{aligned}}$

Jotta epidemia voisi syntyä, $dI/d0>0$ alussa, kun $S=N$.

$\beta N-\alpha >0$

$R_{0}\equiv {\frac {\beta N}{\alpha }}>1$

Jos $R_{0}<1$: $1+R_{0}+R_{0}^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-R_{0}}}$ on pieni luku. Ei synny epidemiaa.

Jos $R_{0}>1$: $1+R_{0}+R_{0}^{2}+\cdots \to \infty$. Alussa kasvaa eksponentiaalisesti.

Mitä $\beta$ tarkoittaa: $\beta =pc$, missä $p$ todennäköisyys leviämiseen ja $c$ kontaktien lukumäärä. Suomessa 150 vuotta sitten samassa huoneessa asui monta ihmistä, nyt vähemmän: ei ole kontakteja.

Montako sairastuu tautiin? Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = S/N} , $i=I/N$

${\begin{aligned}ds/dt&=-\beta Nsi\\di/dt&=\beta Nsi-\alpha i\\\end{aligned}}$

Ratkaistaan käyrä $si$-tasossa: $di/ds=-1+{\frac {\alpha }{\beta N}}{\frac {1}{s}}=-1+{\frac {1}{R_{0}}}{\frac {1}{s}}$. Joten $i=-s+{\frac {1}{R_{0}}}\ln s+C$. Alussa $t\to -\infty$; $i\to 0$ ja $s\to 1$. Siis $C=1$ ja

$i=1-s+{\frac {1}{R_{0}}}\ln s$

Kun epidemia on ohitse: $t\to \infty$. $s$ on negatiivinen ja alhaalta rajoitettu: $s\to s(\infty )$. $i$:n raja-arvo on nolla.

$\ln s(\infty )=R_{0}(s(\infty )-1)$

Ratkaistaan $s$ graafisesti. $s(0)$, osuus joka ei koskaan sairastu.

$R_{0}={\frac {\beta N}{\alpha }}$. Jos rokutusohjelma, niin (kausi-inlfuenssi, jolloin rokote annetaan ennen taudin alkua). Kuinka iso osuus populaatiosta pitää rokottaa, jotta epidemiaa ei syntyisi.

Rokotuskattavuus $f$. $R_{E}={1-f}{R_{0}}<1$, niin epidemiaa ei synny. $f>1-{\frac {1}{R_{0}}}$. Kausi-influenssassa $R_{0}=2\dots 3$, jolloin $f\approx 2/3\approx 70\%$.

Vihurirokko

Vihurirokkotapaus. Edellinen oli suljettu populaatio.

${\begin{aligned}dS/dt&=B-\beta SI-\mu S\\dI/dt&=\beta SI-\alpha I-\mu I\\\end{aligned}}$

$\beta =\mu N$, jolloin kuolleisuus ja syntyvyys on tasapainossa ja analyysi helpottuu aika tavalla.

$R_{0}={\frac {\beta N}{\alpha +\mu }}$

$R_{E}=(1-f)R_{0}$

1970-luvulla rokotettiin vain tytöt: pojille tauti on täysin vaaraton. Sairastumisiän odotusarvo. Ensin todennäköisyystiheys, a on ikä.

$dS/dt=dI/dt=0$. Tasapainokohta ${\overline {s}}=N/R_{0}$. ${\overline {I}}={\frac {\mu }{\beta }}(R_{0}-1)$.

$\phi (a)=(\mu +\beta {\overline {I}})e^{-(\mu +\beta )I}$

${\overline {a}}=\int _{0}^{\infty }a\phi (a)da={\frac {1}{\mu R_{0}}}$. Rokotus: ${\overline {a}}={\frac {1}{\mu R_{E}}}$. Sairastumisiän odotusarvo kasvaa, jos huonosti suunniteltu ikä. Vihurirokolle $R_{0}\approx 7$, $1\mu \approx 80$ (eliniän odotus). Ilman rokotusta ${\overline {a}}=80/7=11$. Rokotus oli vain tytöille, joten $f\approx 0.4$, joten ${\overline {a}}=1/(\mu 0.6\cdot 7)\approx 20$ vuotta.

NetLogo

Lotka Volterra

Taulukkolaskennalla

Summamutikka: Evoluutiopuu

Riikka Kangaslampi: Verkot, kaarevuus ja verkkojen kaarevuus

Uusia tutkimusaiheita syntyy rajapinnoilta.

Verkot

Historiaa

• Euler ja Königsbergin sillat 1736
• Kirchoff ja virtapiirit 1847
• Caley ja hiilivedyt 1857
• Hamilton: Around the world dodekaedrin solmujen kiertämisessä 1859
• Neliväritysongelma 1859. Kolmiväriteoria on helppo osoittaa vääräksi, viisiväriteorian todistaminen on lukiokamaa.

Verkko on pari $(V,E)$, missä $V=\emptyset$ ovat verkon solmut ja $E\subseteq \{\{a,b\}\}|a,b\in V\}$ on verkon solmujen välisten särmien joukko.

Yksinkertainen verkko: Kahden eri solmun välillä korkeintaan yksi särmä, eikä mikään särmä saa olla luuppi $\{v,v\}$.

Multiverkossa ei ole luuppeja, mutta saa olla useita särmiä.

Pseudeverkossa on myös luuppeja.

Solmun aste deg(). Suuntaamattoman graafin $(V,E)$ solmun $v\in V$ aste on niiden särmien lukumäärä, joiden päätesolmuna on solmu $v$. Luupilla on kaksinkertainen päätesolmu.

Cubic graphs

Lause: Kättelylemma, Jokaiselle verkolle $(V,E)$ pätee

$\sum _{v\in V}deg(v)=2|E|$

Todistus. Helppo.

Määritelmä. Verkko $G=(V,E)$ on säännöllinen, jos kaikilla solmuilla on sama aste. Erityisesti, jos jokaisen solmun aste on $k$, niin verkko on $k$-säännällinen. (Tsekkaa: Perersenin verkko on 3-säännöllinne).

Polku on solmujono. Polun pituus on sen särmien lukumäärä.

Solmujen $u$ ja $v$ etäisyys $d(u,v)$ on lyhimmän niiden välisen polun pituus.

Kaarevuus

Litteä. Jalkapallo. Hyperbolinen pinta eli esim. koralli kaareutuu laajemalla ulospäin.

taso on litteä, jos siinä olevien kulmien summa on 180 astetta. Sen kaarevuus on nolla.

Positiivisesti kaarevalla pinnalla (pallopinta) kolmion kulmien summa on yli 180 astetta. Esim. pallo. Mitä tarkoittaa kulma. Suora vs geodeesi. Piirrä tyhjään ilmapalloon kolmio ja puhalle se täyteen.

Negatiivisesti kaarevalla (torvi, koralli) pinnalla kulmien summa < 180 astetta.

Toinen tapa! Jos tasoon piirretään kaksi kiekkoa, jotka leikkaavat toisensa, niin tietty osa niiden pinta-alasta on päällekkäin. Pallopinnalla leikkauspinta-ala on suurempi. Negatiivisella hyperbolisella pinnalla yhteinen pinta-ala jää pienemmäksi.

Olkoot $x$ ja $y$ kaksi pistettä pinnalla ja olkoon $\epsilon >0$. Pos kaareutuneella pinnalla $d(x,y)$ on suurempi kuin etäisyyksien $d(x+v,y+v)$ keskiarvo yli kaikkien epsilon-pituisten vektorin $v$. Jos kaarevuus on nolla, keskimääräinen etäisyys on sama kuin keskipisteiden välinen etäisyys. Negatiivisella kaareutuvalla pinnalla keskimääräinen etäisyys on pienempi.

Metriikka.

Riemannin monistejen tapauksessa kaarevuutta kutsutaan Ricci-kaarevuudeksi.

Verkkojen kaarevuus

Särmien kaarevuus.

Ollivier--Ricci-kaarevuus: Pallo pisteen ympärillä korvataan tn-jakaumalla ja etäisyys Wasserstein-etäisyydellä.

Olkoon $G=(V,E)$ yksinkertainen verkko. (Jaetaan naapueille tasan 1). Todennäköisyysjakauma $\mu _{v},v\in V$ seuraavasti

${\begin{aligned}\mu _{v}={\begin{cases}{\frac {1}{deg(u)}},&&{\text{jos }}\{\mu ,v\}\in E\\0,&&{\text{muulloin}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Satunnaiskävelyn tn-jakauma.

Määritelmä: Kahden tn-jakauman välinen Wassrsteinin etäisyys on (kuinka suuri työ tarvitaan, että jakauma muutetaan toiseksi jakaumaksi, kuljetusfunktio)

$W_{1}(\mu _{1},\mu _{2})=\inf _{\pi }\sum _{v\in V}\sum _{u\in V}d(u,v)\pi (u,v)$

missä infinum lasketaan yli kaikkien kuljetusfunktioiden $\pi :V\times V\to [0,1]$, joille...

Määritelmä. Verkon $G=(V,E)$ särmän $\{u,v\}$ O-R-kaarevuus on

$\kappa (u,v)=1-W_{1}(\mu _{v},\mu _{u})$

Särmän kaarevuus on positiivinen, . . .

Sovelluksia:

• Kompleksiset biologiset verkot (syöpä, aivot, fylogeneettiset puut)
• Graph Curvature for Differentiating Cancer Networks (Nature)
• Finanssiverkkojen haavoittuvuus
• Internetn topologia
• Kvanttipainovoima
• Metroverkkojen kaareutuvuus: Ruuhkaisilla ---, jotta pääsee nopeasti paikasta toiseen.

mas.ncl.ac.uk/graph-curvature/

Myös solmujen kaarevuus.

Harjoituksia

• Digitaalinen aurinkokello, Kenneth Falconer (1980-luvulla). Häiriöitä tulee, mutta niiden mitta on nolla.

• mathigon

• Chaos game.

• Fraktaalien reunat (Pythagoras, ${\sqrt {2}}$, milloin pituudet lähenevät toisiaan). Huom: kolmiot hypotenuusalla.

Viitteitä

Kuva:

• https://maol.fi/app/uploads/2020/09/MAOL_paja5_mustavalkoista.pdf
• https://maol.fi/app/uploads/2020/09/maol_mustavalkoista_taidetta_biteilla.pdf

• https://www.dropbox.com/s/bpwjrpmevslxgzw/Kamppivideo_yhdistetty.mp4?dl=0

Fraktaali:

• https://www.youtube.com/watch?v=j-dce6QmVAQ
• http://ekroc.weebly.com/uploads/2/1/6/3/21633182/mscessay-final.pdf
• Multifractal analysis of sentence lengths in English literary texts

Kaarevuus:

• https://arxiv.org/pdf/1501.04138.pdf ja https://www.slideshare.net/ChienChunNi/ricci-curvature-of-internet-topology